一元二次方程

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1个分类: 方程

一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程。

例如， $x 2 - 3 x + 2 = 0$ ， $\left (3-2i \right)x^2+\sqrt[\pi]{23-6i}x-\sin 2=0$ ， $t 2 - 3 = 0$ 等都是一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是：

$ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$

其中， $a x 2$ 是二次项， $b x$ 是一次项， $c$ 是常数项。 $a \ne 0$ 是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次数是二次。当然，在强调了是一元二次方程之后， $a \ne 0$ 也可以省略不写。

[编辑] 歷史

在大約前480年，古巴比伦人和中國人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多(Brahmagupta)是第一位懂得用使用代數方程，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。

据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是（引自婆什迦罗第二）：

在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方。

例如：解关于x的方程 $a x 2 + b x = c$

　　在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍，即4a，得

　　 $4 a 2 x 2 + 4 a b x = 4 a c$

　　在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方，即b^2，得

　　 $4 a 2 x 2 + 4 a b x + b 2 = 4 a c + b 2$

　　然后在方程的两边同时开二次方，得

　　 $2ax+b=\sqrt[2]{4ac+b^2}$ [1]

[编辑] 解法

阿贝尔定理指出，任意一元二次方程都可以根据a、b、c三个系数，通过初等代数运算来求解。求得的解也被称为方程的根。

[编辑] 因式分解法

把一个一元二次方程变形成一般形式 $a x 2 + b x + c = 0$ 後，如果 $a x 2 + b x + c = 0$ 能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。

将方程左边分解成两个一次因式的乘积后，分别令每一个因式等于零，可以得到两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，得到的两个解都是原方程的解。

如果一元二次方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 存在两个實根 $x 1, x 2$ ，那么它可以因式分解为 $a (x - x 1)(x - x 2)$ 。

例如，解一元二次方程

x 2 - 3 x + 2 = 0

时，可将原方程左边分解成 $\left (x-1 \right)\left (x-2 \right)=0$ 。所以 $x-1=0 \quad x-2=0$ ，可解得 $x_1=1 \quad x_2=2$ 。

[编辑] 公式解法

对于 $ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)$ ，它的根可以表示为：

$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}.$

有些時候也写成

$x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}.$

[编辑] 公式解的证明

公式解可以由配方法得出。

首先先將一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0除以a（a在一元二次方程中不為零），我們將會得到

$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0$

亦即

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

好了！現在我們可以開始配方了。為了配方，我們必須要加上一個常數（在這個例子裡，它是指一個不隨x而變的量）到等式的左邊，使等式左邊有完全平方x²+2xy+y²的樣子。當2xy是 $\frac{b}{a}x$ 時，我們知道y將等於 $\frac{b}{2a}$ ，亦即當我們在式子的兩邊加上 $\frac{b}{2a}$ 之後，我們將得到：